Question

13．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（z-2）i=-3-i．
（1）求z；
（2）若復(fù)數(shù)$\frac{x+i}{z}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）∵（z-2）i=-3-i．
∴（z-2）i•i=（-3-i）•i，化為：z-2=3i-1．
∴z=1+3i．
（2）復(fù)數(shù)$\frac{x+i}{z}$=$\frac{（x+i）（1-3i）}{（1+3i）（1-3i）}$=$\frac{x+3}{10}$+$\frac{1-3x}{10}$i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（$\frac{x+3}{10}$，$\frac{1-3x}{10}$）在復(fù)在第一象限，
∴$\frac{x+3}{10}$＞0且$\frac{1-3x}{10}$＞0，解得$-3＜x＜\frac{1}{3}$．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是$（-3，\frac{1}{3}）$．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．