Question

2．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin$（2x-\frac{π}{6}）$+2sin²（x-$\frac{π}{12}$） （x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的遞增區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用差角三角函數，結合輔助角公式，化簡函數，即可求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由已知$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即可求函數f（x）的遞增區間．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin$（2x-\frac{π}{6}）$+1-cos$（2x-\frac{π}{6}）$
=2[$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}cos（2x-\frac{π}{6}）$]+1
=2sin$（2x-\frac{π}{6}-\frac{π}{6}）$+1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．…（6分）
（Ⅱ）由已知$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$
所以函數f（x）的遞增區間為$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，k∈Z$…（12分）

點評 本題考查三角函數的圖象與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．