Question

2．點P在橢圓$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1上，點P到直線3x-4y=24的最大距離等于$\frac{12}{5}$（2+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設點P的坐標為（4cosθ，3sinθ），可得點P到直線3x-4y=24的d的表達式，再根據余弦函數的值域求得它的最值．

解答 解：設點P的坐標為（4cosθ，3sinθ），
則點P到直線3x-4y=24的d=$\frac{丨12cosθ-12sinθ-24丨}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{丨12\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-24丨}{5}$，
由-1≤cos（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴當cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1時，d取得最大值為d_max=$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$，
故答案為：$\frac{12}{5}$（2+$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查橢圓的參數方程，點到直線的距離公式的應用，余弦函數的值域，屬于中檔題．