Question

1．在平面直角坐標系xOy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的右頂點為A，直線y=x與橢圓交于B，C兩點，若△ABC的面積為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知條件，表示出三角形的面積，然后求出a，即可求解橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知：A（a，0），B（x，x），C（-x，-x），
可得：x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{2}}}$，
△ABC的面積為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
可得：$\frac{1}{2}×a×2\sqrt{\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
解得a=2．
橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）化為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，可得b=1，c=$\sqrt{3}$，
橢圓的離心率為：e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．