Question

8．已知點$（{\sqrt{2}，2}）$與點$（{-2，-\frac{1}{2}}）$分別在冪函數f（x），g（x）的圖象上．
（1）分別求冪函數f（x），g（x）的解析式，并在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象；
（2）觀察圖象，并指出當x為何值時，有：①f（x）＞g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析 （1）由點$（{\sqrt{2}，2}）$與點$（{-2，-\frac{1}{2}}）$分別在冪函數f（x），g（x）的圖象上，可得函數的解析式，進而畫出兩個函數的圖象；
（2）數形結合，可以得到①當x＜0，或x＞1時，f（x）＞g（x）；②當x=1時，f（x）=g（x）；③當0＜x＜1時，f（x）＜g（x）．

解答 解：（1）設f（x）=x^a，g（x）=x^b，
由點$（{\sqrt{2}，2}）$與點$（{-2，-\frac{1}{2}}）$分別在冪函數f（x），g（x）的圖象上可得：
${\sqrt{2}}^{a}=2$，（-2）^b=$-\frac{1}{2}$，
解得：a=2，b=-1，
故f（x）=x²，g（x）=x^-1，
故在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，如圖所示：

（2）由圖可得：
①當x＜0，或x＞1時，f（x）＞g（x）；
②當x=1時，f（x）=g（x）；
③當0＜x＜1時，f（x）＜g（x）．

點評 本題考查的知識點是冪函數的圖象和性質，數形結合思想，難度不大，屬于基礎題．