Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=PC，E，F分別是PA，PB的中點．
（1）求證：PB⊥平面CDF；
（2）已知點M是AD的中點，點N是AC上一動點，當$\frac{CN}{AC}$為何值時，平面PDN∥平面BEM？

Answer 1

分析 （1）推導出DC⊥PC，DC⊥BC，從而DC⊥PB，再求出CF⊥PB，由此能證明PB⊥平面CDF．
（2）過點D作交BC于G，連接PG，當N是AC與DG的交點時，平面PDN∥平面BEM，由此能求出當$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{3}$時，平面PDN∥平面BEM．

解答 證明：（1）∵PC⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴DC⊥PC，DC⊥BC，又PC∩BC=C，∴DC⊥平面PBC，…（2分）
∴DC⊥PB．…（4分）
∵BC=PC，F為PB的中點，∴CF⊥PB．…（5分）
∵DC∩CF=C，∴PB⊥平面CDF．…（6分）
解：（2）過點D作交BC于G，連接PG，…（7分）
∵M是AD的中點，∴EM∥PD，…（8分）
∵PD∩DG=D，∴平面PDG∥平面BEM，…（9分）
∴當N是AC與DG的交點時，平面PDN∥平面BEM，…（10分）
∴在矩形ABCD中，由題意得$\frac{CN}{AC}=\frac{1}{3}$．
故當$\frac{CN}{AC}$=$\frac{1}{3}$時，平面PDN∥平面BEM．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足面面平行的點的位置的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．