Question

10．已知函數f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）圖象的最高點D的坐標為$（\frac{π}{8}，2）$，與點D相鄰的最低點坐標為$（\frac{5π}{8}，-2）$．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求滿足f（x）=1的實數x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數f（x）的部分圖象得出A、T的值，求出ω、φ的值，即可寫出f（x）；
（Ⅱ）由f（x）的解析式，利用正弦函數的圖象與性質求出f（x）=1的實數解即可．

解答 解：（Ⅰ）由函數f（x）=Asin（ωx+ϕ）的部分圖象知，
A=2，$\frac{T}{2}=\frac{5π}{8}-\frac{π}{8}=\frac{π}{2}$，
解得T=π，---------（2分）
∴$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$；---------（3分）
又∵$（\frac{π}{8}，2）$在函數f（x）上，
∴$2=2sin（2×\frac{π}{8}+ϕ）$，
∴$sin（\frac{π}{4}+ϕ）=1$；--------（4分）
∴$\frac{π}{4}+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$ϕ=\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$；---------（5分）
又∵|ϕ|＜π，∴$ϕ=\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$；---------（6分）
（Ⅱ）由$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）=1$，
得$sin（2x+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
所以$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ$或$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{6}+2kπ$，k∈Z；-------------（9分）
即$x=-\frac{π}{24}+kπ$或$x=\frac{7π}{24}+kπ$，k∈Z；----------------（11分）
所以實數x的集合為{x|$x=-\frac{π}{24}+kπ$或$x=\frac{7π}{24}+kπ$，k∈Z}．---------（12分）

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．