Question

5．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$，則z=$\frac{1}{2}$x+y的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．
化目標函數z=$\frac{1}{2}$x+y為y=$-\frac{1}{2}x+z$，
由圖可知，當直線y=$-\frac{1}{2}x+z$過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．