Question

5．已知△ABC是邊長為$2\sqrt{3}$的正三角形，EF為△ABC的外接圓o的一條直徑，M為△ABC的邊上的動點，則$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$的最小值為-3．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，對點M的取值情況分在AB、BC和AC上三種情形進行討論，再求其最小值即可．

解答 解：如圖所示，以邊AB所在直線為x軸，以其中點為坐標原點建立平面直角坐標系，
∵該正三角形ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），C（0，3），
E（0，-1），F（0，3），
當點M在邊AB上時，設點M（x₀，0），則
-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，-1），
$\overrightarrow{MF}$=（x₀，-3），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$=-x₀²+3，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$的最小值為0；
當點M在邊BC上時，
∵直線BC的斜率為-$\sqrt{3}$，
∴直線BC的方程為：$\sqrt{3}$x+y-3=0，
設點M（x₀，3-$\sqrt{3}$x₀），
則0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，$\sqrt{3}$x₀-4），$\overrightarrow{MF}$=（-x₀，$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$=4x₀²-4$\sqrt{3}$x₀，
∵0≤x₀≤$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$的最小值為-3，
當點M在邊AC上時，
∵直線AC的斜率為$\sqrt{3}$，
∴直線AC的方程為：$\sqrt{3}$x-y+3=0，
設點M（x₀，3+$\sqrt{3}$x₀），則-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∵$\overrightarrow{ME}$=（-x₀，-$\sqrt{3}$x₀-4），$\overrightarrow{MF}$=（-x₀，-$\sqrt{3}$x₀），
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$=4x₀²+4$\sqrt{3}$x₀，
∵-$\sqrt{3}$≤x₀≤0，
∴$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$的最小值為-3，
綜上，$\overrightarrow{ME}$•$\overrightarrow{MF}$的最小值為-3．
故答案為：-3．

點評 本題重點考查了平面向量的基本運算、數量積的運算性質等知識，是綜合性題目．