Question

5．已知函數$f（x）=\frac{ax}{{{x^2}+b}}$．
（1）求f'（x）；
（2）設f（x）的圖象在x=1處與直線y=2相切，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用導數法則求f'（x）；
（2）由f（x）的圖象在x=1處與直線y=2相切，得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ f（1）=2\end{array}\right.$，求出a，b，即可求函數f（x）的解析式．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{ax'（{x^2}+b）-ax（{x^2}+b）'}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$…（2分）
=$\frac{{a（{x^2}+b）-ax•2x}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$=$\frac{{ab-a{x^2}}}{{{{（{x^2}+b）}^2}}}$．…（4分）
（2）依題意有$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ f（1）=2\end{array}\right.$…（6分）
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{ab-a}{{{{（a+b）}^2}}}=0\\ 1+b≠0\\ \frac{a}{1+b}=2\end{array}\right.$，解得a=4，b=1，…（9分）
所以$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}$．…（10分）

點評 本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．