Question

10．甲、乙兩人各進行3次射擊，甲、乙每次擊中目標的概率分別為$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{3}$．
（1）求甲至多擊中目標2次的概率；
（2）記乙擊中目標的次數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）由甲3次均擊中目標的概率為${（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，利用相互對立事件的概率計算公式即可得出甲至多擊中目標目標2次的概率．
（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．X～B$（3，\frac{2}{3}）$．利用二項分布列的概率計算公式及其數學期望即可得出．

解答 解：（1）∵甲3次均擊中目標的概率為${（\frac{1}{2}）^3}=\frac{1}{8}$，
∴甲至多擊中目標目標2次的概率為$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$．
（2）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．X～B$（3，\frac{2}{3}）$．
∴$P（X=0）=C_3^0{（1-\frac{2}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，$P（X=1）=C_3^1×\frac{2}{3}×{（1-\frac{2}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，
$P（X=2）=C_3^2×{（\frac{2}{3}）^2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{4}{9}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
∴隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴隨機變量X的數學期望$E（X）=0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}=2$，或E（X）=$3×\frac{2}{3}$=2．

點評 本題考查了相互對立事件的概率計算公式、二項分布列的概率計算公式及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．