Question

17．定義域是一切實數的函數y=f（x），其圖象是連續不斷的，且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x）實數一個“λ一半隨函數”，有下列關于“λ一半隨函數”的結論：①若f（x）為“1一半隨函數”，則f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a^x為一個“λ一半隨函數；③“$\frac{1}{2}$一半隨函數”至少有一個零點；④f（x）=x²是一個“λ一班隨函數”；其中正確的結論的個數是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用新定義“λ的相關函數”，對①②③④逐個判斷即可得到答案．

解答 解：①、若f（x）為“1一半隨函數”，則f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=-f（x），
可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正確；
②、假設f（x）=a^x是一個“λ一半隨函數”，則a^x+λ+λa^x=0對任意實數x成立，
則有a^λ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a^x是“λ一半隨函數”，故②正確．
③、令x=0，得f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0．所以f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（$\frac{1}{2}$）•f（0）=-$\frac{1}{2}$（f（0））²＜0，
又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上必有實數根，
因此任意的“-$\frac{1}{2}$一半隨函數”必有根，即任意“-$\frac{1}{2}$一半隨函數”至少有一個零點．故③正確．
④、假設f（x）=x²是一個“λ一半隨函數”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數”．故④錯誤
正確判斷：①②③．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數的概念及構成要素，函數的零點，正確理解f（x）是λ-同伴函數的定義，是解答本題的關鍵．