Question

9．如圖，三棱錐A-BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分別為BD、AC的中點．
（I）證明：EF⊥CD；
（II）若BC=CD=AD=1，求點E到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （I）取CD的中點G，連接EG，FG，證明CD⊥平面EFG，即可證明：EF⊥CD；
（II）利用等體積方法，求點E到平面ABC的距離．

解答 （I）證明：取CD的中點G，連接EG，FG，
∵E為BD的中點，∴EG∥BC，
∵BC⊥CD，∴EG⊥CD，
同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD，
∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG，
∴EF⊥CD；
（II）解：S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△BCE=$\frac{1}{2}BE•CE$=$\frac{1}{4}$，
設點E到平面ABC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即點E到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查等體積法求點E到平面ABC的距離，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．