Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$與拋物線y²=2px（p＞0）有公共焦點F且交于A，B兩點，若直線AB過焦點F，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據拋物線與雙曲線的焦點相同，可得 $\frac{p}{2}$=c，經過利用直線AB，過兩曲線的公共焦點建立方程關系即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$有共同的焦點，
∴$\frac{p}{2}$=c，
∵直線AB過兩曲線的公共焦點F，
∴（$\frac{p}{2}$，p），即（c，2c）為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$上的一個點，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴（c²-a²）c²-4a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-6e²+1=0，
∴e²=3±2$\sqrt{2}$，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$，
故選：B．

點評 本題考查拋物線與雙曲線的綜合，考查拋物線與雙曲線的幾何性質，確定幾何量之間的關系是關鍵．綜合性較強，考查學生的計算能力．