Question

15．一塊形狀為直角三角形的鐵皮，兩直角邊長分別為40cm、60cm，現要將它剪成一個矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個角，則矩形的最大面積是600cm²．

Answer 1

分析 設AC=40，BC=60．利用截距式可得直線AB的方程為$\frac{x}{40}+\frac{y}{60}=1$，S_矩形CDEF=xy，利用基本不等式求解xy的最大值即可．

解答 解：如圖所示：
設AC=40，BC=60．
則直線AB的方程為$\frac{x}{40}+\frac{y}{60}=1$
設E（x，y），則$\frac{x}{40}+\frac{y}{60}=1$（0＜x＜40，0＜y＜60），
故有1≥2$\sqrt{\frac{x}{40}•\frac{y}{60}}$，化為：xy≤600，當且僅當$\frac{x}{40}=\frac{y}{60}=\frac{1}{2}$，即x=20，y=30時取等號．
∴S_矩形CDEF=xy≤600．
∵△ABC的面積S$\frac{1}{2}$×40×60=1200．是固定的，
∴當使得DE=20，EF=30，剪下矩形CDEF的面積最大時，才能使剩下的殘料最少．
故答案為：600．

點評 本題考查了基本不等式的應用、直線的截距式等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．