Question

20．如圖1，有一建筑物OP，為了測(cè)量它的高度，在地面上選一基線AB，設(shè)其長(zhǎng)度為d，在A點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為α，在B點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角為β．
（1）若AB=40，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求建筑物的高度h；
（2）經(jīng)分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)將基線AB調(diào)整到線段AO上（如圖2），α與β之差盡量大時(shí)，可以
提高測(cè)量精確度，設(shè)調(diào)整后AB的距離為d，tanβ=$\frac{4}p9vv5xb5$，建筑物的實(shí)際高度為21，試問(wèn)d為何值時(shí)，β-α最大？

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，可得AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，即可求旗桿的高度h；
（2）計(jì)算tan（β-α），利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△POA中，OA=$\sqrt{3}$h，在Rt△POB中，OB=h，
在Rt△AOB中，d²=（$\sqrt{3}$h）²+h²-2•$\sqrt{3}$h•hcos30°，其中：d=40，得：h=40，
故旗桿的高度為40．
（2）∵tanα=$\frac{h}{d+\frac{dh}{4}}$，tanβ=$\frac{4}p9vv5xb5$，
∴tan（β-α）=$\frac{\frac{4}p9vv5xb5-\frac{4h}{d（h+4）}}{1+\frac{16h}{p9vv5xb5^{2}（h+4）}}$=$\frac{16d}{p9vv5xb5^{2}（h+4）+16h}$=$\frac{16}{d（h+4）+\frac{16h}p9vv5xb5}$≤$\frac{16}{2\sqrt{16h（h+4）}}$=$\frac{2}{\sqrt{h（h+4）}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{105}$，
當(dāng)且僅當(dāng)d（h+4）=$\frac{16h}p9vv5xb5$即d=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$時(shí)“=”成立，
故當(dāng)d=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$時(shí)，tan（β-α）最大，
∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，∴0＜β-α＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)d=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$時(shí)，β-α最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查差角的正切公式，考查正切函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．