Question

10．已知數列{a_n}滿足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_na_n+1，S_n為數列{b_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由條件$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}$，得n≥2時，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{（n-1）^{2}}{2}$，兩式相減即可求得通項公式；
（2）${b}_{n}={a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$，采用裂項相消，即可求出{b_n}的前n項和S_n．

解答 （本小題滿分12分）
解析：（1）當n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，∴a₁=2，
當n≥2時，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}$，①
$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{（n-1）^{2}}{2}$，②
①-②得，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{（n-1）^{2}}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
∴n≥2時，${a}_{n}=\frac{2}{2n-1}$．
又a₁=2滿足上式，
∴${a}_{n}=\frac{2}{2n-1}$．
（2）∵b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{2n-1}•\frac{2}{2n+1}$=2（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴${S}_{n}=2（1-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=2（$1-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{4n}{2n+1}$．

點評 本題主要考查了利用數列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1求解數列的通項公式，以及裂項相消求數列的前n項．需注意的是在求通項公式時不要漏掉對n=1的檢驗．