Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{3^x}-{2^{-x}}}}{{{3^x}+{2^{-x}}}}$．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明； 
（2）寫出f（x）的值域．
（3）若g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＞0\\ 2ax+a-1，x≤0\end{array}$為R上的增函數(shù)，寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）后，利用定義證明即可．
（2）分離常數(shù)化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化成基本函數(shù)求解值域．
（3）根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性具有連續(xù)性，在為R上的增函數(shù)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{{{3^x}-{2^{-x}}}}{{{3^x}+{2^{-x}}}}$．
化簡(jiǎn)可得：$f（x）=\frac{{{6^x}-1}}{{{6^x}+1}}=\frac{{（{6^x}+1）-2}}{{{6^x}+1}}=1-\frac{2}{{{6^x}+1}}$在R上是增函數(shù)，
證明如下：任取x₁，x₂，使得：${x_1}＞{x_2}∴{6^{x_1}}＞{6^{x_2}}＞0$
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{6^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{6^{x_1}}+1}}=\frac{{2（{6^{x_1}}-{6^{x_2}}）}}{{（{6^{x_1}}+1）（{6^{x_2}}+1）}}＞0$，
所以f（x₁）＞f（x₂），則f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）由（1）可得f（x）=1-$\frac{2}{{6}^{x}+1}$，
∵$0＜\frac{2}{{{6^x}+1}}＜2$
∴$f（x）=1-\frac{2}{{{6^x}+1}}∈（-1，1）$，
故得：f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
（3）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＞0\\ 2ax+a-1，x≤0\end{array}$為R上的增函數(shù)，
則需滿足$\left\{\begin{array}{l}2a＞0\\ a-1≤0\end{array}\right.⇒0＜a≤1$，
故得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域的求法利用了分離常數(shù)，單調(diào)性的證明和分段函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用．屬于中檔題．