Question

14．設x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}$，目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若z的最大值為12，求$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值．
（Ⅱ）若z的最大值不大于12，求a²+b²+2（b-a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫出平面區域，求出目標函數z的最大值為12時的坐標，得出a，b的關系，利用基本不等式的性質求解．
（Ⅱ）z的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b≤6，a＞0，b＞0，畫出平面區域，令Z=a²+b²+2（b-a），則轉為（a-1）²+（b+1）²=Z+2=r²利用幾何意義求解最值．

解答 解：（Ⅰ）不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，當直線ax+by=z（a＞0，b＞0）
過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，
目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=$（\frac{2}{a}+\frac{3}{b}）\frac{2a+3b}{6}$$\frac{13}{6}+（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）≥\frac{13}{6}+2=\frac{25}{6}$．
當且僅當a=b=$\frac{6}{5}$時取等號．
（Ⅱ）若z的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b≤6，a＞0，b＞0，
畫出平面區域，

令Z=a²+b²+2（b-a），則轉為（a-1）²+（b+1）²=Z+2=r²．圓心為（1，-1），
由圖可知，當r=1時，最小，此時Z=-1；
當圓過（0.2）時，半徑最大，r=$\sqrt{（1-0）^{2}+（2+1）^{2}}=\sqrt{10}$，此時Z=8，
∵a＞0，
∴Z＞-1
因此Z=a²+b²+2（b-a）的取值范圍（-1，8]．

點評 本題考查了基本不等式的最值的運用、簡單的線性規劃以及利用幾何意義求最值．屬于中檔題．