Question

8．已知正數x，y滿足：x+y+3=xy，若對任意滿足條件的x，y：（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用題目條件求出x+y的范圍，通過換元法化簡表達式，利用恒成立分離變量，通過函數的單調性求解函數的最小值，即可推出a的范圍．

解答 解：因為x+y+3=xy≤$\frac{（x+y）^{2}}{4}$，可得（x+y）²-4（x+y）-12≥0，正數x，y；可得x+y∈[6，+∞）．（4分）
令t=x+y，可得：t²-at+1≥0在區間[6，+∞）上恒成立，
即a≤t+$\frac{1}{t}$在區間[6，+∞）上恒成立，（6分）
又f（t）=t+$\frac{1}{t}$在區間[6，+∞）上單調遞增，
∴f（t）_min=f（6）=$\frac{37}{6}$，∴a$≤\frac{37}{6}$，
故a的取值范圍為（-∞，$\frac{37}{6}$]．

點評 本題考查函數的恒成立條件的應用，考查換元法，分離變量，函數的最值的求法，考查計算能力．