Question

13．已知函數f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|+a|x-$\frac{3}{2}$|．
（1）當a=-1時，解不等式f（x）≤3x；
（2）當a=2時，若關于x的不等式4f（x）＜2|1-b|的解集為空集，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉絕對值，轉化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最大值為14，可得|1-b|≤7，由此解得b的范圍．

解答 解：（1）當a=-1時，不等式f（x）≤3x 可化為$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{4}}\\{-（2x+\frac{1}{2}）+（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}≤x＜\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}+（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$②；或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}-（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$③．
解①求得-$\frac{1}{2}$≤x＜-$\frac{1}{4}$，解求得-$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{3}{2}$，解求得x≥$\frac{3}{2}$．
綜上可得，不等式的解集為{x|x≥-$\frac{1}{2}$}．
（2）當a=2時，f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|+|2x-3|≥|2x+$\frac{1}{2}$-（2x-3）|=$\frac{7}{2}$，（當且僅當-$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{3}{2}$時取等號），
則f（x）的最大值為4•$\frac{7}{2}$=14，不等式4f（x）＜2|1-b|的解集為空集，
等價于|1-b|≤7，解得-6≤b≤8，故實數b的取值范圍是[-6，8]．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．