Question

17．為了傳承經典，促進學生課外閱讀，某校從高中年級和初中年級各隨機抽取100名學生進行有關對中國四大名著常識了解的競賽．圖1和圖2分別是高中年級和初中年級參加競賽的學生成績按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）分組，得到的頻率分布直方圖．

（1）分別計算參加這次知識競賽的兩個學段的學生的平均成績；
（2）規定競賽成績達到[75，80）為優秀，經統計初中年級有3名男同學，2名女同學達到優秀，現從上述5人中任選兩人參加復試，求選中的2人恰好都為女生的概率；
（3）完成下列2×2的列聯表，并回答是否有99%的把握認為“兩個學段的學生對四大名著的了解有差異”？

	成績小于60分人數	成績不小于60分人數	合計
初中年級
高中年級
合計

附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
臨界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.01
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）由題意求得${\bar x_{高中}}=56，{\bar x_{初中}}=60$；
（2）由古典概型公式，選中的2人恰好都是女生的概率為$P=\frac{1}{10}$．
（3）由列聯表求得${K^2}=\frac{{200{{（{50•30-50•70}）}^2}}}{100•100•120•80}≈8.33＞6.635$，
故有99%的把握認為“兩個學段的學生對四大名著的了解有差異”

解答 解：（1）${\bar x_{高中}}=56，{\bar x_{初中}}=60$，
（2）從5名同學中任選2人參加復試的所有基本事件數有10個，其中選中的2人恰好都是女生的基本事件只有1個，故選中的2人恰好都是女生的概率為$P=\frac{1}{10}$．
（3）列聯表如下

	成績小于6（0分）人數	成績不小于6（0分）人數	合計
初中年級	50	50	100
高中年級	70	30	100
合計	120	80	200

${K^2}=\frac{{200{{（{50•30-50•70}）}^2}}}{100•100•120•80}≈8.33＞6.635$，
故有99%的把握認為“兩個學段的學生對四大名著的了解有差異”

點評 本題考查獨立性檢驗，考查概率的計算，考查學生的閱讀與計算能力，屬于基礎題．