Question

7．已知點A的坐標為（0，1），直線l：x=m（y+1）與直線y=-$\frac{3}{5}$交于點F，點E∈l，且?m∈R，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0．
（1）求點E的軌跡C的方程；
（2）設圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）與軌跡C交于點M與點N，設點P是軌跡C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得F點坐標，設E（x，y），根據向量數量積的坐標運算，即可求得點E的軌跡C的方程；
（2）由條件可知M、N兩點關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），則N（x₁，-y₁），直線PM的方程為y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），令y=0得點R的橫坐標x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理可得點S的橫坐標x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．由此能證明|OR|•|OS|為常數．

解答 解：（1）由題意可知：A（0，1），F（$\frac{2}{5}$m，-$\frac{3}{5}$），設E（x，y），
由$\overrightarrow{AE}$=（x，y-1），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{2}{5}$m，-$\frac{8}{5}$），
由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0．則$\frac{2}{5}$mx-$\frac{8}{5}$（y-1）=0，2mx=8（y-1），
當y≠-1時，m=$\frac{x}{y+1}$，代入整理得：${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，（y≠-1），
當y=-1時，F（0，-$\frac{3}{5}$），則E（0，1），滿足${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
∴點E的軌跡C的方程${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
（2）證明：由條件可知M、N兩點關于x軸對稱，
設M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），
則N（x₁，-y₁），${y}_{1}^{2}-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}=1$，${y}_{0}^{2}-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}=1$，
所以x₁²=4（y₁²-1），x₀²=（y₀²-1）．
直線PM的方程為y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0得點R的橫坐標x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，
同理可得點S的橫坐標x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．
于是：|OR|•|OS|=|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$|•|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$|=|$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$|，
=|$\frac{4（{y}_{1}^{2}-1）{y}_{0}^{2}-4（{y}_{0}^{2}-1）{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$|=4．
所以|OR|•|OS|為常數4．

點評 本題考查雙曲線的軌跡方程的求法，考查向量數量積的坐標運算，解題時要認真審題，注意雙曲線定義和方程的合理運用，直線方程的合理運用，屬于中檔題．