Question

10．已知關于實數x的一元二次方程x²+2ax+b²=0（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a是從區間[0，3]中任取的一個整數，b是從區間[0，2]中任取的一個整數，求上述方程有實根的概率．
（Ⅱ）若a是從區間[0，3]任取的一個實數，b是從區間[0，2]任取的一個實數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析 設事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實根”，當a≥0，b≥0，時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b．
（Ⅰ） 利用古典概型概率計算公式求解；
（Ⅱ）應用幾何概型概率計算公式求解．

解答 解：設事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實根”．
當a≥0，b≥0，時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b．
（Ⅰ）基本事件共12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一個數表示a的取值，
第二個數表示b的取值．
事件A中包含9個基本事件，事件A發生的概率為$P（A）=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）試驗的全部結束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率為=$\frac{{3×2-\frac{1}{2}×{2^2}}}{3×2}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了古典概型、幾何概型，屬于中檔題．