Question

20．已知△ABC的面積為l，內切圓半徑也為l，若△ABC的三邊長分別為a，b，c，則$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}$的最小值為（　　）

• A． 2
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $2+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根據三角形的面積和內切圓半徑也為l，得到a+b+c=2，則根據導數的和函數的最值的關系即可求出最值．

解答 解：∵△ABC的面積為l，內切圓半徑也為l，△ABC的三邊長分別為a，b，c，
∴$\frac{1}{2}$（a+b+c）×1=1，
即a+b+c=2，
即a+b=2-c，
∴0＜c＜2
∴$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}$=$\frac{4}{2-c}$+$\frac{2-c}{c}$=$\frac{4}{2-c}$+$\frac{2}{c}$-1，
設f（x）=$\frac{4}{2-x}$+$\frac{2}{x}$-1，0＜x＜2，
∴f′（x）=$\frac{4}{（2-x）^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{2}+4x-4）}{{x}^{2}（x-2）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=-2+2$\sqrt{2}$，
當x∈（0，-2+2$\sqrt{2}$）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x∈（-2+2$\sqrt{2}$，2）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
∴f（x）_min=f（-2+2$\sqrt{2}$）=2+2$\sqrt{2}$，
故$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}$的最小值為2+2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了導數和函數的最值得關系，以及三角形的面積和內切圓的關系，屬于中檔題