Question

12．已知雙曲線C的中點在原點O，焦點$F（{-2\sqrt{5}，0}）$，點A為左支上一點，滿足|OA|=|OF|且|AF|=4，則雙曲線C的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{16}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{36}=1$

Answer 1

分析 設A（m，n），（m＜0，n＞0），雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），運用雙曲線的a，b，c的關系和等腰三角形的面積公式，由等積法可得m，n，代入雙曲線的方程，解方程可得a，b，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：設A（m，n），（m＜0，n＞0），
雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得c=2$\sqrt{5}$，a²+b²=20，①
在等腰三角形OAF中，
S_△OAF=$\frac{1}{2}$|OF|•n=$\sqrt{5}$n，
又AF邊上的高為h=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
可得S_△OAF=$\frac{1}{2}$h•|AF|=2h=8，
解得n=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，
由勾股定理可得m²+n²=20，
解得m=-$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
即P（-$\frac{6}{\sqrt{5}}$，$\frac{8}{\sqrt{5}}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{36}{5{a}^{2}}$-$\frac{64}{5{b}^{2}}$=1②
由①②解得a=2，b=4，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數法，以及平面幾何中三角形的面積公式，考查運算能力，屬于中檔題．