Question

17．若圓C₁：x²+y²=m與圓C₂：x²+y²-6x-8y+16=0外切．
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）若圓C₁與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，P為第三象限內一點，且點P在圓C₁上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓的圓心坐標，利用相切列出方程，即可求實數m的值；
（Ⅱ）求出點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，2），設P點的坐標為（x₀，y₀），推出點M的坐標為（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$），點N的坐標為（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），表示出四邊形ABNM的面積，利用點P在圓C₁上，得x₀²+y₀²=4，化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圓C₁的圓心坐標（0，0），半徑為$\sqrt{m}$（m＞0），
圓C₂的圓心坐標（3，4），半徑為3，圓心距為：5，
又兩圓外切，得$\sqrt{m}+3=5$，解得m=4．
（Ⅱ）由題易得點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，2），圓C₁：x²+y²=4，
設P點的坐標為（x₀，y₀），x₀，y₀∈（-2，0）．
由題意，得點M的坐標為（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$），點N的坐標為（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），
四邊形ABNM的面積S=$\frac{1}{2}$|AN||BM|=$\frac{1}{2}|2-\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}||2-\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}|$=|$\frac{1}{2}•\frac{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}•\frac{4-2{x}_{0}-2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$|=|$\frac{1}{2}•\frac{（{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}）}^{2}}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}$|，
由點P在圓C₁上，得x₀²+y₀²=4，
∴四邊形ABNM的面積S=$\frac{4（4-2{x}_{0}-2{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}）}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}=4$，
∴四邊形ABNM的面積為定值4．

點評 本題考查兩個圓的位置關系以及圓的方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．