Question

8．已知函數f（x）=sin²x+acosx+$\frac{5}{8}$a-$\frac{3}{2}$，a∈R．
（1）當a=1時，求函數f（x）的最大值最小值及相應的x的集合；
（2）如果對于區間[0，$\frac{π}{2}$]上的任意一個x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 可得f（x）=-cos²x+acosx+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，令t=cosx，所以f（x）=-t²+at+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，
（1）當a=1時，f（x）=-t²+t+$\frac{1}{8}$=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，即可求解
 （2）f（x）=-（cosx-$\frac{1}{2}a）^{2}$²+$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}$
 在[0，$\frac{π}{2}$]上，cosx∈[0，1]，分以下情況求解
①$0≤\frac{a}{2}≤1$，②$\frac{a}{2}＜0$，③$\frac{a}{2}＞1$，

解答 解：化簡可得f（x）=-cos²x+acosx+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，
令t=cosx，所以f（x）=-t²+at+$\frac{5}{8}a$-$\frac{1}{2}$，
（1）當a=1時，f（x）=-t²+t+$\frac{1}{8}$=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
因為x∈R，所以t∈[-1，1]，
關于t的二次函數開口向下，對稱軸為t=$\frac{1}{2}$，
故當t=$\frac{1}{2}$時，函數取最大值f（x）_max=$\frac{3}{8}$，此時cosx=$\frac{1}{2}$，x的集合為{x|x=2kπ±$\frac{π}{3}$，k∈Z}
當t=-1時，函數取最小值f（x）_min=-$\frac{15}{8}$，此時cosx=-1，x的集合為{x|x=2kπ+π，k∈Z}
 （2）f（x）=-（cosx-$\frac{1}{2}a$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}$，
在[0，$\frac{π}{2}$]上，cosx∈[0，1]，
當$0≤\frac{a}{2}≤1$時，f（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}≤1$，解得-4$≤a≤\frac{3}{2}$，則0$≤a≤\frac{3}{2}$；
 當$\frac{a}{2}＜0$時，f（x）_max=$\frac{5}{8}a-\frac{1}{2}≤1$，解得a$≤\frac{12}{5}$，則a≤0；
當$\frac{a}{2}＞1$，時，f（x）_max=a+$\frac{5a}{8}+\frac{1}{2}≤1$，解得a$≤\frac{20}{13}$，無解．
綜上，a的取值范圍時（-$∞，\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了三角恒等變形、含參數二次函數的最值問題，考查了分類討論思想，屬于中檔題．