Question

13．（1）求過點P（3，4）且在兩個坐標軸上截距相等的直線l方程．
（2）已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上，求圓心為C的圓的標準方程．

Answer 1

分析 （1）當直線過原點時，直接寫出直線方程，當不過原點時，設出直線的截距式方程x+y=a，代入點的坐標求解a，則答案可求．
（2）求出直線AB的斜率，線段AB的垂直平分線l方程，然后求解圓心C的坐標，圓的半徑，然后求解圓的方程．

解答 解：（1）解：當直線過原點時，直線方程為y=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y=0；
當直線不過原點時，設直線方程為x+y=a．
則3+4=a，得a=7．
∴直線方程為x+y-7=0．
∴過點M（3，4）且在坐標軸上截距相等的直線方程為4x-3y=0或x+y-7=0．
故答案為：4x-3y=0或x+y-7=0．
（2）因為A（1，1），B（2，-2），所以線段AB的中點D的坐標為$（{\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}）$，直線AB的斜率為${k_{AB}}=\frac{-2-1}{2-1}=-3$，因此線段AB的垂直平分線l方程為$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{x-\frac{3}{2}}）$，即x-3y-3=0
圓心C的坐標是方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x-3y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.$的解，解此方程組得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}}\right.$，
所以圓心C的坐標為（-3，-2）圓的半徑$r=|{AC}|=\sqrt{{{（{1+3}）}^2}+{{（{1+2}）}^2}}=5$，
所以圓的方程為（x+3）²+（y+2）²=25．

點評 本題考查了直線的點斜式方程和截距式方程，考查了分類討論的數學思想方法，圓的方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．