Question

18．設函數y=f（x）是定義在R上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當x＞1時，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求$f（1）、f（{\frac{1}{9}}）$的值；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是減函數；
（3）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1易得f（1）=0，利用f（9）=f（3）+f（3），可得f（9），再利用$f（9）+f（{\frac{1}{9}}）=f（1）=0$，可得$f（\frac{1}{9}）$．
（2）$0＜{x_1}＜{x_2}⇒\frac{x_2}{x_1}＞1⇒f（{\frac{x_2}{x_1}}）＜0$，可得$f（{x_2}）=f（{\frac{x_2}{x_1}•{x_1}}）=f（{\frac{x_2}{x_1}}）+f（{x_1}）＜f（{x_1}）$，即可證明．
（3）由條件（1）及（1）的結果得：$f[{x（{2-x}）}]＜f（{\frac{1}{9}}）$，其中0＜x＜2，再利用單調性即可得出．

解答 （1）解：令x=y=1，易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且$f（9）+f（{\frac{1}{9}}）=f（1）=0$，得$f（{\frac{1}{9}}）=2$；
（2）證明：$0＜{x_1}＜{x_2}⇒\frac{x_2}{x_1}＞1⇒f（{\frac{x_2}{x_1}}）＜0$，
∴$f（{x_2}）=f（{\frac{x_2}{x_1}•{x_1}}）=f（{\frac{x_2}{x_1}}）+f（{x_1}）＜f（{x_1}）$，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數．
（3）解：由條件（1）及（1）的結果得：$f[{x（{2-x}）}]＜f（{\frac{1}{9}}）$，其中0＜x＜2，
由（2）得：$\left\{{\begin{array}{l}{x（{2-x}）＞\frac{1}{9}}\\{0＜x＜2}\end{array}}\right.$，解得x的范圍是$（{1-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}）$．

點評 本題考查了抽象函數的求值、單調性、解不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．