Question

10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且點$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式求得a²=4b²，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得|x₁-x₂|，則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|m||x₁-x₂|，利用基本不等式的性質，即可求得△OAB面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=4b²，
將$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$代入橢圓方程：$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，解得a²=4，b²=1，…（2分）
橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將y=kx+m代入橢圓C的方程，可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
由△＞0，可得m²＜4+16k²，①
則有x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$．…（6分）
∴|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．…（8分）
由直線y=kx+m與y軸交點的坐標為（0，m），
∴△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|m||x₁-x₂|
=$\frac{2丨m丨\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}（16{k}^{2}+4-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$=$2\sqrt{\frac{{4{m^2}}}{{1+4{k^2}}}-\frac{m^4}{{（1+4{k^2}{）^2}}}}$…（10分）
設$\frac{m2}{1+4k2}$=t，由①可知0＜t＜4，
因此S=2$\sqrt{（4-t）t}$≤2$\sqrt{（\frac{4-t+t}{2}）^{2}}$=4，故S≤4，
當且僅當4-t=t，即t=2時取得最大值4．
∴△OAB面積的最大值為4．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，三角形的面積公式，基本不等式的性質，考查計算能力，屬于中檔題．