Question

2．若函數f（x）=e|lnx|-|x-1|-（$\frac{1}{2}$）^m有且僅有一個零點，則實數m的取值范圍（-∞，0）．

Answer 1

分析 把函數f（x）=e|lnx|-|x-1|-（$\frac{1}{2}$）^m有且僅有一個零點轉化為方程e|lnx|-|x-1|=（$\frac{1}{2}$）^m有且僅有一個根，利用導數研究函數f（x）的單調性，作出其圖象的大致形狀，數形結合可得（$\frac{1}{2}$）^m＞1，得m＜0．

解答 解：函數f（x）=e|lnx|-|x-1|-（$\frac{1}{2}$）^m有且僅有一個零點，即方程e|lnx|-|x-1|=（$\frac{1}{2}$）^m有且僅有一個根，
令g（x）=e|lnx|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-elnx+x-1，0＜x＜1}\\{elnx-x+1，x≥1}\end{array}\right.$，
當0＜x＜1時，g（x）=-elnx+x-1，得g′（x）=$-\frac{e}{x}+1=\frac{x-e}{x}$＜0，g（x）在（0，1）上為減函數；
當x＞1時，由g（x）=elnx-x+1，得g′（x）=$\frac{e}{x}-1=\frac{e-x}{x}$，當x∈（1，e）時，g′（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，e）上為增函數，在（e，+∞）上為減函數，且g（1）=0，g（e）=1，當x→+∞時，g（x）→-∞．
作出函數g（x）的圖象的大致形狀如圖：

要使方程e|lnx|-|x-1|=（$\frac{1}{2}$）^m有且僅有一個根，
則（$\frac{1}{2}$）^m＞1，得m＜0．
∴m的取值范圍為（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查了數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，是中檔題．