Question

11．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的坐標方程為ρ=6cosθ．
（1）將曲線C的極坐標方程化為直坐標方程；
（2）若點M（5，$\sqrt{3}$），直線l與曲線C的交點為A，B，求①|MA|•|MB|；②|MA|+|MB|的值；③|AB|的值；④||MA|-|MB||的值；
（3）若點M（8，2$\sqrt{3}$），直線l與曲線C的交點為A，B，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）曲線的極坐標方程即ρ²=2ρcosθ，根據極坐標和直角坐標的互化公式得x²+y²=2x，即得它的直角坐標方程；
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+y²=6x，整理可得2t²+3$\sqrt{3}$t-1=0，利用參數(shù)的幾何意義可得結論；
（3）點M（8，2$\sqrt{3}$）在直線l上，由參數(shù)的幾何意義，同樣有t₁+t₂=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-$\frac{1}{2}$，利用參數(shù)的幾何意義可得結論．

解答 解：（1）∵ρ=6cosθ，∴ρ²=6ρcosθ，∴x²+y²=6x，故它的直角坐標方程為（x-3）²+y²=9；
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+y²=6x，整理可得2t²+3$\sqrt{3}$t-1=0，
設A，B對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，∴t₁+t₂=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-$\frac{1}{2}$，
∴①|MA|•|MB|=$\frac{1}{2}$；②|MA|+|MB|=$\sqrt{\frac{27}{4}+2}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$；
③|AB|=$\sqrt{\frac{27}{4}+2}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$；④||MA|-|MB||=|t₁+t₂|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）點M（8，2$\sqrt{3}$）在直線l上，由參數(shù)的幾何意義，同樣有t₁+t₂=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，t₁t₂=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{37}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{37}$．

點評 本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．