Question

6．設f（x）＜0是定義在R上的奇函數，且f（2）＜0，當x＞0時，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，則不等式x²f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 構造函數，通過$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0化為[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0；然后利用導函數的正負性，可判斷函數y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）內單調遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內的正負性；最后結合奇函數的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內的正負性．則x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：因為當x＞0時，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，即[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0恒成立，
所以$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）內單調遞減．
因為f（2）=0，
所以在（0，2）內恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內恒有f（x）＜0．
又因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以在（-∞，-2）內恒有f（x）＞0；在（-2，0）內恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集：（-∞，-2）∪（0，2）．
故選：D．

點評 本題主要考查了函數單調性與奇偶性的應用．在判斷函數的單調性時，常可利用導函數來判斷．屬于中檔題．