Question

18．已知數列{a_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（1）求數列a_n的通項公式
（2）令${c_n}=\frac{2^n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$記T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n  求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據數列遞推式，變形可得數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，由此可得結論．
（2）令${c_n}=\frac{2^n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$求出通項公式，然后利用裂項法求和求解即可．

解答 解：（1）由題意a_n+1=2a_n+1可以得到a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1）
所以$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，所以數列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，以2為公比的等比數列．
則有a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（2）${c_n}=\frac{2^n}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}$$+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1$-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$．

點評 本題考查數列遞推式，數列通項公式以及數列求和，等比數列的判定，考查學生的計算能力，