Question

9．已知數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$且a₁₀=$\frac{1}{3}$，則{a_n}的前99項和為-$\frac{193}{6}$．

Answer 1

分析 利用數列的遞推關系式，求出數列的周期，然后求解一個周期內的和，即可求解{a_n}的前99項和．

解答 截：數列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$且a₁₀=$\frac{1}{3}$，
可得a₁₁=-$\frac{1}{2}$，a₁₂=-3，a₁₃=2，a₁₄=$\frac{1}{3}$，
可得：a₁=2，a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=-3，a₅=2，a₆=$\frac{1}{3}$，a₇=-$\frac{1}{2}$，a₈=-3，a₉=2，a₁₀=$\frac{1}{3}$，
數列的周期為：4．
一個周期數列的和為：S=$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-3+2$=-$\frac{7}{6}$．
則{a_n}的前99項和：25S-3=-$\frac{193}{6}$．
故答案為：-$\frac{193}{6}$．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列求和，考查轉化思想以及計算能力．