Question

19．已知定義在[0，+∞）上的函數f（x）滿足f（x+1）=2f（x），當x∈[0，1）時，f（x）=-x²+x，設f（x）在[n-1，n）上的最大值為${a_n}（{n∈{N^*}}）$，則a₄=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 f（x+1）=2f（x），就是函數f（x）向右平移1個單位，最大值變為原來的2倍，當x∈[0，1）時，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．可得a₁=f（$\frac{1}{2}$），q=2，可得a_n，即可得出．

解答 解：∵f（x+1）=2f（x），就是函數f（x）向右平移1個單位，最大值變為原來的2倍，
當x∈[0，1）時，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．
a₁=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{4}$×2^n-1=2^n-3，
∴a₄=$\frac{1}{4}$×2^4-1=2，
故選：A．

點評 本題考查了二次函數的單調性、等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．