Question

7．若關于x的不等式${4^x}-{log_a}x≤\frac{3}{2}$在$x∈（0，\frac{1}{2}]$上恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{1}{4}，1）$
• B． $（0，\frac{1}{4}]$
• C． $[\frac{3}{4}，1）$
• D． $（0，\frac{3}{4}]$

Answer 1

分析 兩個函數的恒成立問題轉化為最值問題，此題4^x-log_ax≤$\frac{3}{2}$對x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，函數$y={4^x}-\frac{3}{2}$的圖象不在y=log_ax圖象的上方．對數函數另一方面要注意分類對底數a討論．即可求解

解答 解：由題意得${4^x}-\frac{3}{2}≤{log_a}x$在$x∈（0，\frac{1}{2}]$上恒成立，
即當$x∈（0，\frac{1}{2}]$時，函數$y={4^x}-\frac{3}{2}$的圖象不在y=log_ax圖象的上方，
由圖知：當a＞1時，函數$y={4^x}-\frac{3}{2}（{0＜x≤\frac{1}{2}}）$的圖象在y=log_ax圖象的上方；
當0＜a＜1時，${log_a}\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$，解得$\frac{1}{4}≤a＜1$．
故選：A．

點評 本題考查了函數在其定義域內值域的問題，兩個函數的恒成立問題轉化為最值問題．對數函數另一方面要注意分類對底數a討論．屬于中檔題．