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7.若關于x的不等式${4^x}-{log_a}x≤\frac{3}{2}$在$x∈(0,\frac{1}{2}]$上恒成立,則實數a的取值范圍是(  )
A.$[\frac{1}{4},1)$B.$(0,\frac{1}{4}]$C.$[\frac{3}{4},1)$D.$(0,\frac{3}{4}]$

分析 兩個函數的恒成立問題轉化為最值問題,此題4x-logax≤$\frac{3}{2}$對x∈(0,$\frac{1}{2}$)恒成立,函數$y={4^x}-\frac{3}{2}$的圖象不在y=logax圖象的上方.對數函數另一方面要注意分類對底數a討論.即可求解

解答 解:由題意得${4^x}-\frac{3}{2}≤{log_a}x$在$x∈(0,\frac{1}{2}]$上恒成立,
即當$x∈(0,\frac{1}{2}]$時,函數$y={4^x}-\frac{3}{2}$的圖象不在y=logax圖象的上方,
由圖知:當a>1時,函數$y={4^x}-\frac{3}{2}({0<x≤\frac{1}{2}})$的圖象在y=logax圖象的上方;
當0<a<1時,${log_a}\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$,解得$\frac{1}{4}≤a<1$.
故選:A.

點評 本題考查了函數在其定義域內值域的問題,兩個函數的恒成立問題轉化為最值問題.對數函數另一方面要注意分類對底數a討論.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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A.B.
C.D.

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