Question

12．已知函數f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）當x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，求f（x）的最大值、最小值，及其取得最值時自變量的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），有三角函數的周期性及其求法可求周期；
（2）利用正弦函數的圖象和性質求出單調區間；
（3）根據三角形函數的取值范圍，求出最值，以及自變量的取值集合．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}$+sin4xsin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$；
（2）遞減區間滿足：$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴遞減區間為[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．
遞增區間滿足：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴遞增區間為[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]．k∈Z．
∴f（x）在[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]．k∈Z為增函數，在[$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z為減函數；
（3）當{x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}時，函數f（x）有最大值，最大值為2，
當{x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{7π}{24}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}時，函數f（x）有最小值，最小值為-2．

點評 本題考查三角函數的最小正周期、遞減區間和遞增區間的求法，注意正弦加法定理、余弦加法定理、正弦函數性質的合理運用，屬于中檔題．