Question

1．已知函數$f（x）=\frac{lnx}{x+1}-\frac{{2{f^'}（1）}}{x}$．
（1）求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x＞0且x≠1時，$f（x）＞\frac{lnx}{x-1}+（{a^2}-a-2）$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）$f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，設$h（x）=f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}$有最小值b（b＞0），即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}-b≥0$，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）…（1分）
因為$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{2f'（1）}{x^2}$，…（2分）
所以$f'（1）=\frac{1}{2}+2f'（1）$，即$f'（1）=-\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x^2}$，…（4分）
令x=1，得f（1）=1，所以函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：
$y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-3=0．…（5分）
（2）因為$f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，…（6分）
令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，則$g'（x）=\frac{{-{x^2}+2x-1}}{x^2}=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}$，
因為x≠1，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1），（1，+∞）上為減函數，…（8分）
又因為g（1）=0，所以，當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，此時，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$；
當0＜x＜1時，g（x）＞g（1）=0，此時，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$，…（10分）
假設$h（x）=f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}$有最小值b（b＞0），則h（x）-b≥0，
即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}-b≥0$．若b＞1，當$x∈（\frac{1}{b}，1）$時，h（x）-b＜0；
若0＜b≤1，當$x∈（\frac{1}{b}，+∞）$時，h（x）-b＜0，所以，不存在正數b，使h（x）≥b．
所以，當x＞0，且x≠1時，$f（x）-\frac{lnx}{x-1}＞0$，所以，a²-a-2≤0，
解得：-1≤a≤2．…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．