Question

8．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosθ\\ y=bsinθ\end{array}$（a＞b＞0，θ為參數），且曲線C₁上的點$M（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$對應的參數θ=$\frac{π}{3}$，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（1）寫出曲線C₁的極坐標方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點M₁、M₂的極坐標分別為$（1，\frac{π}{2}）$和（2，0），直線M₁M₂與曲線C₂交于P、Q兩點，射線OP與曲線C₁交于點A，射線OQ與曲線C₁交于點B，求$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，即可寫出曲線C₁的極坐標方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（2）$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$分別代入$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$中，即可求$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$的值．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}1=acos\frac{π}{3}\\ y=bsin\frac{π}{3}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.⇒{C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$
因此C₁的極坐標方程為$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$${C_2}：{x^2}+{y^2}=2y$
（2）M₁（0，1），M₂（2，0）⇒M₁M₂：x+2y-2=0
恰好過${C_2}：{x^2}+{y^2}=2y$的圓心，∴OP⊥OQ⇒OA⊥OB，
∴$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$
分別代入$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$中，
∴$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{4}+{sin^2}θ+\frac{{{{sin}^2}θ}}{4}+{cos^2}θ=\frac{5}{4}$．

點評 本題考查三種方程的互化，考查極坐標方程的運用，屬于中檔題．