Question

6．已知xlnx-（1+a）x+1≥0對任意$x∈[\frac{1}{2}，2]$恒成立，則實數a的最大值為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意xlnx-（1+a）x+1≥0對任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立轉化為a≤$\frac{xlnx-x+1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立即可；

解答 解：由題意xlnx-（1+a）x+1≥0對任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
即a≤$\frac{xlnx-x+1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
令h（x）=$\frac{xlnx-x+1}{x}$=lnx+$\frac{1}{x}$-1；
h'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，令h'（x）=0解得x=1；
當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，h'（x）＜0，h（x）為單調減函數；
當x∈[1，2]時，h'（x）＞0，h（x）為單調增函數；
所以h（x）的最小值為h（1）=0
所以，a的最大值為0；
故選：A．

點評 本題主要考查了函數轉化思想，函數求值以及導函數與原函數的關系，屬中等題．