Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$，左右焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF₂|+|AF₂|的最大值為6，則b的值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b²代入|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于6列式求b的值．

解答 解：由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，
∵過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，∴|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a=8
∴|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|．
當AB垂直x軸時|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
此時|AB|=b²，∴6=8-b²，
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的定義，解答此題的關鍵是明確過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，是中檔題．