Question

3．已知函數y=kx²-4x-8在區間[4，16]上單調遞減，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 y=kx²-4x-8在區間[4，16]上是減函數，判斷[4，16]為函數減區間的子集，分k＞0，k=0和k＜0三種情況討論即可．

解答 解：因為y=kx²-4x-8在區間[4，16]上是減函數，所以[4，16]為函數減區間的子集．
①當k=0時，y=-4x-8在區間[4，16]上是減函數，∴k=0滿足題意；
②當k＞0時，y=kx²-4x-8的減區間為（-∞，$\frac{2}{k}$]，則有$\frac{2}{k}$≥16，解得0＜k≤$\frac{1}{8}$；
③當k＜0時，y=kx²-4x-8的減區間為[$\frac{2}{k}$，+∞），則有$\frac{2}{k}$≤4，解得k＜0；
∴k的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{8}$]．

點評 本題考查了含字母系數的函數在閉區間上的單調性問題，解題時要對字母討論．