Question

7．已知函數f（x）=3^x，g（x）=|x+a|-3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函數h（x）=f[g（x）]的圖象關于直線x=2對稱，求a的值；
（Ⅱ）給出函數y=g[f（x）]的零點個數，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數h（x）=f[g（x）]=3^|x+a|-3 的圖象關于直線x=2對稱，則h（4-x）=h（x）⇒|x+a|=|4-x+a|恒成立⇒a=-2；
（Ⅱ）函數y=g[f（x）]=|3^x+a|-3的零點個數，就是函數G（x）=|3^x+a|與y=3的交點，
分①當0≤a＜3時；②當a≥3時；③-3≤a＜0時；④當a＜-3時，畫出圖象判斷個數．

解答 解：（Ⅰ）函數h（x）=f[g（x）]=3^|x+a|-3 的圖象關于直線x=2對稱，則h（4-x）=h（x）⇒|x+a|=|4-x+a|恒成立⇒a=-2；
（Ⅱ）函數y=g[f（x）]=|3^x+a|-3的零點個數，就是函數G（x）=|3^x+a|與y=3的交點，
①當0≤a＜3時，G（x）=|3^x+a|=3^x+a與y=3的交點只有一個，即函數y=g[f（x）]的零點個數為1個（如圖1）；
②當a≥3時，G（x）=|3^x+a|=3^x+a與y=3沒有交點，即函數y=g[f（x）]的零點個數為0個（如圖1）；
③-3≤a＜0時，G（x）=|3^x+a|與y=3的交點只有1個（如圖2）；
④當a＜-3時，G（x）=|3^x+a|與y=3的交點有2個（如圖2）；
     
  

點評 本題考查了函數的零點，把零點個數轉化為兩函數交點個數是常用方法，屬于中檔題．