Question

7．在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點．
（Ⅰ） 求證：CM⊥EM；
（Ⅱ） 求CM與平面CAE所成角的大小；
（Ⅲ） 求平面ABC與平面CDE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別以CB，CA所在直線為x，y軸，過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，寫出線對應的向量的坐標，根據兩個向量的數量積等于0，得到結論．
（Ⅱ）寫出直線的方向向量，設出平面的法向量，根據法向量與平面上的向量垂直，數量積等于0，得到兩個關于法向量坐標的關系式，寫出其中一個法向量，根據法向量與直線的夾角得到結果．
（Ⅲ）分別求出平面ABC的一個法向量與平面CDE的一個法向量，利用向量法能求出平面ABC與平面CDE所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）分別以CB，CA所在直線為x，y軸，過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz
設AE=a，則M（a，-a，0），E（0，-2a，a），
所以$\overrightarrow{CM}$=（a，-a，0），$\overrightarrow{EM}$=（a，a，-a），
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{EM}$=a×a+（-a）×a+0×（-a）=0，
∴CM⊥EM．
解：（2）平面CAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），$\overrightarrow{CM}$=（a，-a，0），
設CM與平面CAE所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=45°，
∴直線CM與平面CAE所成的角為45°．
（3）D（2a，0，2a），$\overrightarrow{CD}$=（2a，0，2a），$\overrightarrow{CE}$=（0，-2a，a），
設平面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-2ay+az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=2ax+2az=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，1，2），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
設平面ABC與平面CDE所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{3}$．
∴平面ABC與平面CDE所成銳二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查空間位置關系的判斷與證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．