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19.已知雙曲線$c:\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}(a>0,b>0)$的漸近線方程為$y=±\frac{3}{4}x$,且其焦點為(0,5),則雙曲線C的方程( 。
A.$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1B.$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$C.$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$D.$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

分析 求得雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x,由題意可得4a=3b,設a=3t,b=4t,(t>0),求得c,解方程可得t=1,即可得到a,b的值,可得雙曲線的方程.

解答 解:雙曲線$c:\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}(a>0,b>0)$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x,
由漸近線方程為$y=±\frac{3}{4}x$,可得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$,
設a=3t,b=4t,(t>0),則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5t,
由其焦點為(0,5),可得c=5=5t,
可得t=1,a=3,b=4,
則雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1.
故選:A.

點評 本題考查雙曲線的方程的求法,注意運用雙曲線的性質:漸近線方程和基本量a,b,c的關系,考查運算能力,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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C.$[\frac{1}{2}\;\;,\;\;1)∪({1\;\;,\;\;+∞})$D.$(-1\;\;,\;\;\frac{1}{2}]∪({1\;\;,\;\;+∞})$

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