Question

2．在△ABC中，已知B=2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積為4：3的兩部分，則cosA=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由A與B的度數之比，得出AC大于BC，利用角平分線定理根據角平分線CD將三角形分成的面積之比為4：3，得到BC與AC之比，再利用正弦定理得出sinA與sinB之比，將B=2A代入并利用二倍角的正弦函數公式化簡，即可求出cosA的值．

解答 解：∵B=2A，
∴B＞A，
∴AC＞BC，
∵角平分線CD把三角形面積分成4：3兩部分，
∴由角平分線定理得：BC：AC=BD：AD=3：4，
∴由正弦定理$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，得：$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{3}{4}$，整理得：$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{sinA}{2sinAcosA}$=$\frac{3}{4}$，
則cosA=$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，角平分線定理，以及二倍角的正弦函數公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．