Question

11．已知f（x）=ln（e^x+1）+ax是偶函數，g（x）=e^x-be^-x是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷g（x）的單調性（不要求證明）；
（3）若不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的性質即可求a，b的值；
（2）根據指數函數的單調性即可判斷g（x）的單調性；
（3）根據函數的單調性將不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，進行轉化，即可求實數m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+1）-ax是偶函數，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x）-f（x）=0，
則ln（e^-x+1）+ax-ln（e^x+1）+ax=0，
ln（e^x+1）-x+2ax-ln（e^x+1）=0，
則（2a-1）x=0，即2a-1=0，解得a=$\frac{1}{2}$．
若g（x）=e^x-be^-x是奇函數．
則g（0）=0，即1-b=0，
解得b=1；
（2）∵b=1，∴g（x）=e^x-e^-x，則g（x）單調遞增；
（3）由（II）知g（x）單調遞增；
則不等式g（f（x））＞g（m-x）在[1，+∞）上恒成立，
等價為f（x）＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
即ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x＞m-x在[1，+∞）上恒成立，
則m＜ln（e^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
設m（x）=ln（e^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
則m（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴m（x）≥m（1）=ln（1+e）+$\frac{1}{2}$，
則m＜ln（1+e）+$\frac{1}{2}$，
則實數m的取值范圍是（-∞，ln（1+e）+$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，函數單調性的判斷以及不等式恒成立問題，利用參數分離法是解決恒成立問題的基本方法．