Question

1．一個多面體的直觀圖（圖1）及三視圖（圖2）如圖所示，其中M、N分別是AF、BC的中點，
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求平面MNF與平面CDEF所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4$\sqrt{2}$，∠CBF=90°，由此能證明MN∥平面CDEF．
（2）以EA，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面MNF與平面CDEF所成的銳二面角的大小．

解答 證明：（1）由三視圖知，
該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=4，DE=CF=4$\sqrt{2}$，∠CBF=90°，
連結BE，M在BE上，連結CE
EM=BM，CN=BN，所以MN∥CE，CE?面CDEF，MN?面CDEF，
所以MN∥平面CDEF．
（2）以EA，AB，AD所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，4，4），D（0，0，4），
E（-4，0，0），F（-4，4，0），N（-2，2，0），M（0，4，2），
$\overrightarrow{MN}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{MF}$=（-4，4，-2），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{DE}$=（-4，0，-4），
設面MNF法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=-2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MF}=-4x+4y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
設平面CDEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=4b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=-4a-4c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
設平面MNF與平面CDEF所成的銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
θ=60°，
∴平面MNF與平面CDEF所成的銳二面角的大小為60°．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．